No había dejado de pensar en ello, una vez me asaltó la idea luego de haber leído ese detalle incluido, a modo de reseña, en un libro de divulgación. Es el caso que, al parecer, Fermat (1601 – 1665) creyó haber dado en su momento con una fórmula sencilla para generar números primos:
y así se lo comunicó en una carta a su compatriota el monje Marin Mersenne, con el que mantenía correspondencia frecuente. Está claro que esta expresión no cumplía el sueño de ser la fórmula madre de todos los primos, pero Fermat creía que para cualquier n el resultado F(n) es un número primo. Como todas las conjeturas, ésta tiene cierto fundamento, como podemos ver:
F(1) = 5; F(2) = 17; F(3) = 257; F(4) = 65 537;
F(5) = 4 294 967 297; F(6) = 18 446 744 073 709 551 617
Hasta F(4) son todos primos fácilmente comprobables. En cuanto a F(5) algún error debió cometer Fermat con las comprobaciones, ya que hemos de suponer que al menos debía ser costumbre entonces someter el número a la prueba de los primos menores que mil, tabulables sin esfuerzo. De haberlo hecho concienzudamente Fermat hubiera encontrado que 641 (el primo número 116) divide a F(5). El tamaño de F(6), un número de veinte cifras, quedaba ya desde luego muy por encima de las posibilidades de la época: por el método de las divisiones hace falta probar 23 974 primos, hasta dar con el factor 274 177.
Me daba mucha pena que la cosa quedara así, con nuestro sabio seducido por lo que no era sino una ilusión, y aunque me había prometido a mí mismo no volver a hacer uso de la máquina, la idea fue tomando cuerpo hasta convertirse en una obsesión. La había construido, y de eso hacía ya mucho, con la ayuda de Paco, al poco de haber leído ambos la novela de Wells (bueno, sí, H. G. Wells). Pero desde que mi amigo hizo aquel viaje sin regreso —se había enamorado, me dijo, y de nada valió que le tratara de convencer de que eso de los sentimientos son cosa subjetiva y para colmo relativa— ya no volví a realizar incursiones, entre otras razones porque, aunque la máquina era monoplaza, siempre compensaba comentar la experiencia. Nos habíamos juramentado para no perturbar en demasía el pasado. Desde luego nada de visitas a entornos familiares, para evitar líos con la paradoja del abuelo; y silencio absoluto acerca de inventos o hechos de trascendencia histórica. Tampoco debíamos visitar nuestro propio pasado vital, por posibles problemas con las curvas de tipo temporal cerradas de Gödel. A pesar de todo, se objetará, está el efecto mariposa. Y a eso respondo que sí, que desde luego, pero que el curso de la vida y de los acontecimientos no deja de ser una madeja de efectos mariposa, de modo que un aleteo más o menos no ha de tener importancia. «El ruido del trueno», ese bello cuento de Ray Bradbury no es sino solamente eso: un cuento.
Desde lo de Paco había dejado la máquina instalada en el doble fondo de un armario del garaje, donde nadie podía sospechar nada. Seguía siendo tan tosca como cuando la fabricamos: palancas, reostatos, relés, ruedas numeradas procedentes de una calculadora mecánica robada de la oficina de un tío de mi amigo, y algún cable que otro. Hacía tiempo que no la engrasaba, por cierto. Pero estaba decidido. A través de una amiga de mi hija, que se ocupa de la coreografía y del atrezo de una pequeña compañía de teatro, me hice con un traje de francés provinciano acomodado de mediados del siglo XVII. Las coordenadas de la villa de Toulouse (estuve dudando entre esa ciudad y Beaumont-de-Lomagne) no fueron difíciles de hallar, y para el momento elegí el año de 1640 y un día del mes de mayo, que tampoco era cosa de exponerse al frío ni al calor. Para pasar inadvertido cuidé de encerrar mi ordenador portátil en una maleta de madera que casualmente guardaba como recuerdo. Y nada más, porque a fin de cuentas la máquina —tanto Paco como yo no pasábamos de ser simples aficionados— solamente era capaz de crear una burbuja espacio temporal de un día de duración y unos escasos miles de kilómetros de radio de acción.
Así que no lo pensé más y para allá que me catapulté. Aparecí en una plaza cercana al río y preguntando aquí y allá di con la morada de monsieur de Fermat. Hallé entreabierta la puerta de la casa, de modo que asomé la cabeza y ensayé un «Bonnes, a la paix de Dieu!» (Buenas, a la paz de Dios) que es como supuse que se debía presentar uno entonces. De una habitación no alejada me llegó el sonido del arrastrar de una silla y al poco tenía ante mí a un hombre que frisaba los cuarenta y que me contemplaba con reserva.
—Bonjour— le dije —Moi, je viens avec l’intention de parler avec vous des nombres premiers.
El caballero no dijo nada, y me seguía mirando con cierta perplejidad.
—Excuse moi— le dije, al darme cuenta de que no me había presentado —Je m’apelle Pierre, et je viens de l’Espagne—y señalé en dirección al sur. Aunque todavía no un estado, España quedaba entonces efectivamente al sur de Francia.
Seguía la actitud de reserva. No quería entretenerlo, de modo que saqué el portátil de la maleta y lo abrí allí mismo. Como lo había dejado en modo de latencia fue cosa de poco tiempo el presentarle el cuaderno de notas de Mathematica. Todas las fórmulas estaban preparadas de antemano, así que una vez me cercioré de que mi visitado reconocía sus propios primos potenciales pulsé Mayúsculas-Intro tras la expresión
FactorInteger[4294967297]
y enseguida pudimos ver la respuesta {{641,1},{6700417,1}}. Para mi asombro, no hizo falta que yo explicara nada. Es listo, este puñetero, me dije para mis adentros (siempre que me veo forzado a reconocer la inteligencia de alguien no puedo evitar añadir un epíteto denigrante). Tras un instante tenso escuché un
—Parbleu! — que contenía una mezcla de estupor y de queja, a lo que siguió —Pero señor, yo hablo su lengua. Tenga la bondad de tomar asiento y esperar un momento, por favor — me pidió en un castellano fluido, sin ni siquiera esa erre gutural que yo esperaba como irremediable, a la vez que me señalaba un confortable asiento. No tardó mucho en volver. Yo le tenía reservada otra sorpresa.
—Regardez!— le dije, y volví a la carga con
FactorInteger[18446744073709551617]
para obtener inmediatamente {{274177,1},{67280421310721,1}}. Nuestro hombre, tras un instante de mal disimulado asombro, volvió a retirarse a su estudio, para volver antes de lo que yo esperaba.
—D’où venez vous? — me espetó sin más.
—Je viens du future— le dije, dejándome de tapujos.
No pareció sorprenderse, aunque permaneció un momento pensativo. Se retiró de nuevo y regresó pronto entregándome un papel en el que se hallaba escrito el número de doce dígitos 100 895 598 169. No sabía de qué se trataba, pero supuse que quería que lo procesara del mismo modo, así que escribí la instrucción
FactorInteger[100895598169]
y la respuesta fue igualmente inmediata: {{112303,1},{898423,1}}. Esta vez nuestro hombre se mostró alborozado.
Había llegado el momento de irme. Yo quería que nuestro sabio no muriera sin conocer la verdad acerca de sus pretendidos primos, pero tampoco quería cambiar el devenir natural de las cosas, así que le hice prometer que guardaría el secreto.
—Os ruego, señor, que no hagáis nada en lo que respecta a vuestros números F(5) y F(6). Las cosas han de seguir como si lo que os he mostrado no hubiera sucedido.
—No ha lugar para la preocupación. Debéis saber que por mi oficio estoy habituado a guardar secretos. Particularmente —añadió mientras me dirigía una mirada de soslayo que no supe interpretar— si se me pide explícitamente.
Como no di importancia al añadido, lo que dijo me tranquilizó. Así que me despedí con toda la cortesía que pude exhibir y que imaginé apropiada, y me retiré a un bosquecillo cercano para esperar el efecto de la implosión retráctil espontánea del seudópodo espacio temporal desplazado, cosa que tuvo lugar apenas se insinuaba la caída de la tarde.
De vuelta a casa y esa misma noche, reparé en que no había prestado atención al número que me había presentado Fermat. Como no había apagado el portátil pude rescatarlo. Allí seguía escrito en el notebook: 100895598169. Consulté mis libros hasta encontrar una referencia sobre el mismo. Resulta que se trataba de un número que el Padre Mersenne le había propuesto a modo de desafío ¡y que Fermat había factorizado!, toda una hazaña para la época (pensemos que el menor de los factores ocupa el lugar 10 650 de la secuencia de números primos). Y entonces fue cuando me di cuenta de que no le había exigido ninguna promesa acerca de la descomposición factorial de ese número. No consigo desembarazarme de la impresión de que nuestro sabio me había colado un gol de campeonato. No en vano es francés el dicho «Les promesses n'engagent que ceux qui les écoutent».
¿Y cuál fue la continuación de la historia? Los libros dicen que F(5) hubo de esperar a que el inevitable Leonhard Euler lo desenmascarara en 1732. En cuanto a Fermat seis, resistió hasta que un caballero de ochenta y dos años, F. Landry, lo descompusiera en sus factores primos en el siglo XIX. La realidad, como de costumbre, es siempre más poética que la fantasía.
Post Scriptum:
En el libro «Recreations in the Theory of Numbers», de Albert H. Beiler (y ex–libris de Francesc Castanyer), del año 1961, se incluye una tabla con el estado del conocimiento a la fecha relativo a los números de Fermat. De F(7) se supone que ha de tener dos o tres factores, no menores que 2^32, y de F(8) se ignora por completo su naturaleza. Para números de orden superior se presenta a veces un divisor, pero en ningún caso se conocen todos los factores. Después de tanto tiempo transcurrido desde entonces, podemos añadir que:
F(7) se descompone en factores de forma casi inmediata mediante Mathematica:
F(7)=2^(2^7)+1=2^128+1= {{59649589127497217,1},{5704689200685129054721,1}}
Para F(8) ha sido necesario plantear la cuestión a Mathematica y dejar el ordenador ‘pensando’ durante casi cinco horas (Timing[FactorInteger[2^256+1]]) para encontrar la respuesta:
F(8)=2^(2^8)+1=2^256+1={{1238926361552897,1},
{93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321,1}}
F11 = 2^(2^11)+1=2^2048+1 fue factorizado por Brent y Morain en 1988.
F(9) = 2^(2^9)+1 = 2^512 +1 fue factorizado por A.K. Lenstra, H.W. Lenstra Jr., M.S. Manasse y J.M. Pollard en 1990.
F10 = 2^(2^10)+1=2^1024+1 fue factorizado por Richard Brent, el cual encontró un factor de 40 dígitos el 20 de octubre de 1995. El cofactor es un número de 252 dígitos, lo que hubiera representado una barrera difícil de vencer de haber sido compuesto. Por suerte resultó que dicho número es también primo, lo que completó la descomposición factorial.
Hasta donde sé, todavía es una cuestión abierta la de si existe algún número de Fermat primo por encima de F(4), o si, de existir alguno, se cuentan en número finito (lo que se cree que sería lo más probable en este caso) o bien hay una infinidad de ellos.
Los números de Fermat, inocentes y pérfidos a un tiempo, representan un papel principal en la categorización que hizo Gauss de los polígonos regulares que se pueden inscribir en un círculo con la condición, impuesta por la escuela geométrica clásica griega, del uso exclusivo de la regla y el compás. Gauss logró también (un mes antes de cumplir los diecinueve años) la construcción del polígono de 17 lados. Tan orgulloso estuvo de ese logro que se cuenta que expresó el deseo de que esa figura se representara en su tumba. No se hizo así, pero en el monumento que le dedicó su ciudad natal, Braunschweig, con ocasión del centenario de su nacimiento, se grabó una estrella de diecisiete puntas; el cambio se debió al propio grabador, que opinó que el heptadecágono corría el riesgo de ser confundido fácilmente con un círculo.
P. Crespo, agosto 2006
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