El mar, el barco y la moneda

A UNA MONEDA

Fría y tormentosa la noche que zarpé de Montevideo.
Al doblar el Cerro,
tiré desde la cubierta más alta
una moneda que brilló y se anegó en las aguas barrosas,
una cosa de luz que arrebataron el tiempo y la tiniebla.
Tuve la sensación de haber cometido un acto irrevocable,
de agregar a la historia del planeta
dos series incesantes, paralelas, quizá infinitas:
mi destino, hecho de zozobra, de amor y de vanas vicisitudes,
y el de aquel disco de metal
que las aguas darían al blando abismo
o a los remotos mares que aún roen
despojos del sajón y del fenicio.
A cada instante de mi sueño o de mi vigilia
corresponde otro de la ciega moneda.
A veces he sentido remordimiento
y otras envidia,
de ti que estás, como nosotros, en el tiempo y su laberinto
y que no lo sabes.

Jorge Luis Borges

Este magistral poema de Borges sugirió a jmaio el siguiente problema: Cuando Borges echó la moneda al mar, ¿qué ocurrió con el nivel de éste? ¿Subió, bajó o permaneció constante? Pneuma se lanzó inmediatamente tras el hueso, y he aquí su solución (les advierto que tiene la aprobación de jmaio, que es como decir que Euler, Gauss y Poincaré han emitido su nihil obstat, así que no se me pongan críticos)

Solución:

La solución podría razonarse de este modo: al tirar la moneda, el barco deja de desalojar un volumen de agua igual al peso de dicha moneda. Puesto que la densidad de la moneda es mayor que la del agua (según el poema se hunde, cosa habitual en las monedas que caen en el agua), el volumen de agua que deja de desalojar el barco es mayor que el volumen de la moneda. El volumen total definido por el continente y la superficie del agua, prolongada por el interior del barco, aumenta en el volumen de la moneda y disminuye en el volumen referido que desaloja de menos el barco; como este último es mayor que el de la moneda, el volumen total desciende, y por tanto el nivel del agua baja.

Un análisis en términos matemáticos podría ser el que sigue. Llamemos V al volumen delimitado por el continente y la superficie del agua, prolongada ésta por el interior del barco. Sea A el peso (volumen) del agua, P el peso del barco y M el de la moneda. Para simplificar las cosas supondremos que los volúmenes y los pesos se expresan de modo que la densidad del agua resulte igual a la unidad (litros y kilos, o gramos y centímetros cúbicos, por ejemplo). Por el principio de Arquímedes, podemos plantear la relación siguiente, válida antes del lanzamiento de la moneda:

V = A + P + M (1)

ya que P + M será el peso (volumen) de agua desalojado.

Una vez lanzada la moneda, la relación será ahora la siguiente:

V’ = A + P + v (2)

donde V’ será el nuevo volumen total y v el de la moneda. Si ahora dividimos (2) entre (1) resultará, si llamamos δ a la densidad del material de la moneda:

V’ / V = (A + P + v) / (A + P + M)

= (A + P + v) / (A + P + δ.v)

valor que será inferior a la unidad puesto que es δ > 1. Concluimos que es V’ < V.

Si se suponen paredes verticales como borde del continente, el descenso del nivel del agua es cuantificable al ser

a’ = a . (A + P + v) / (A + P + δ.v) (3)

donde a y a’ son las alturas del nivel del agua antes y después de que la moneda haya entrado en el agua. En condiciones ordinarias el valor de la diferencia es naturalmente ínfimo. Siendo la superficie total del mar de unos 361 x 10⁶ km² y suponiendo que la moneda pesa unos 10 gramos y es de plata (densidad 10,5 gr/cm³), la diferencia de nivel (el peso del barco es irrelevante) resulta ser del orden de 2,5 x 10^-18 cm (ver cálculos más abajo), cien mil veces menor que el diámetro del nucleón (protón o neutrón), que es del orden de 1 femtómetro, igual a 10^-13 cm. Para una experiencia real puede utilizarse una tina (el mar), un recipiente de plástico (el barco) y una piedra (la moneda), por ejemplo, en cuyo caso podemos comprobar que el nivel del agua desciende al sacar la piedra del interior del recipiente y colocarla en el fondo de la tina.

Cálculo: La diferencia de nivel buscado, teniendo en cuenta la ecuación (3), será:

Δa = a – a’ = a [1 - (A + P + v) / (A + P + δ.v)] = a v (δ – 1) / (A + P + δ.v)

Ahora bien, tanto P como δ.v pueden despreciarse en el denominador, por ser su orden de magnitud muy pequeños comparados con el valor de A. Nos queda entonces:

Δa = a – a’ ≈ a v (δ – 1) / A = v (δ – 1) / S

donde S es la superficie del agua. Observemos que la diferencia de nivel no depende de la profundidad media del agua. Tendremos en definitiva

Δa ≈ (10 / 10,5) (10,5 – 1) / S = (9,5 / 1,05) / (361 x 10¹⁶ ) ≈ 2,5 x 10^-18 cm.

La gran ola, por Katsushika Hokusai